Karta wzorów CKE

Trygonometria – wzory maturalne CKE

Definicje funkcji trygonometrycznych, wzory redukcyjne i tożsamości — pełne zestawienie z karty wzorów maturalnych CKE.

Wszystkie działy wzorówOtwórz kalkulator: TrygonometriaKurs maturalny
Wszystkie działy

Trygonometria

Definicje funkcji, tożsamości i najważniejsze wzory przekształceń.

Powiązany kalkulator

Ten dział ma aktywny kalkulator tematyczny w serwisie.

Otwórz kalkulator trygonometrii

Kąt ostry w trójkącie prostokątnym

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym ($a$, $b$ — przyprostokątne, $c$ — przeciwprostokątna):
$$\sin\alpha = \frac{a}{c}$$
$$\cos\alpha = \frac{b}{c}$$
$$\tg\alpha = \frac{a}{b}$$
Otwórz kalkulator

Dowolny kąt

Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta dla punktu $M(x,y)$, gdzie $r = |OM| = \sqrt{x^2+y^2} > 0$:
$$\sin\alpha = \frac{y}{r}$$
$$\cos\alpha = \frac{x}{r}$$
$$\tg\alpha = \frac{y}{x}$$

Wykres funkcji sinus

Wykres funkcji sinus (okres $2\pi$, wartości z przedziału $[-1,1]$).
$$y = \sin x$$

Wykres funkcji cosinus

Wykres funkcji cosinus (okres $2\pi$, wartości z przedziału $[-1,1]$).
$$y = \cos x$$

Wykres funkcji tangens

Wykres funkcji tangens (okres $\pi$; nieokreślona dla $x = \frac{\pi}{2}+k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$).
$$y = \tg x$$

Tożsamości podstawowe

Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta:
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
$$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

Suma i różnica kątów

Dla dowolnych kątów $\alpha$ oraz $\beta$ prawdziwe są równości:
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

Tangens sumy i różnicy

Ponadto:
$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta} \quad \text{gdy } \alpha,\beta,\alpha+\beta\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$
$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta} \quad \text{gdy } \alpha,\beta,\alpha-\beta\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$

Podwojony kąt

Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta:
$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$
$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$
$$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$$
$$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$$
$$\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha} \quad \text{o ile } \tg\alpha \text{ istnieje i } \tg^2\alpha\ne1$$

Wzory redukcyjne

Wybrane wzory redukcyjne:
$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$$
$$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$$
$$\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha$$
$$\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$$
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$$
$$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$$
$$\tg(180^\circ-\alpha)=-\tg\alpha$$
$$\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$$
$$\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha$$
$$\tg(180^\circ+\alpha)=\tg\alpha$$

Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych

Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych:
$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\sin\alpha\cdot\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]$$
$$\cos\alpha\cdot\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$$
$$\sin\alpha\cdot\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$$

Okresowość funkcji trygonometrycznych

Dla każdego kąta $\alpha$ i liczby całkowitej $k$ prawdziwe są pierwsze dwa związki. Ponadto jeżeli $\alpha \ne 90^\circ + m\cdot180^\circ$ (gdzie $m\in\mathbb{Z}$), to prawdziwa jest okresowość tangensa.
$$\sin(\alpha+k\cdot360^\circ)=\sin\alpha$$
$$\cos(\alpha+k\cdot360^\circ)=\cos\alpha$$
$$\tg(\alpha+k\cdot180^\circ)=\tg\alpha$$

Trygonometria

Definicje funkcji, tożsamości i najważniejsze wzory przekształceń.

αsin αcos αtg α
0°$0.0000$$1.0000$$0.0000$
1°$0.0175$$0.9998$$0.0175$
2°$0.0349$$0.9994$$0.0349$
3°$0.0523$$0.9986$$0.0524$
4°$0.0698$$0.9976$$0.0699$
5°$0.0872$$0.9962$$0.0875$
6°$0.1045$$0.9945$$0.1051$
7°$0.1219$$0.9925$$0.1228$
8°$0.1392$$0.9903$$0.1405$
9°$0.1564$$0.9877$$0.1584$
10°$0.1736$$0.9848$$0.1763$
11°$0.1908$$0.9816$$0.1944$
12°$0.2079$$0.9781$$0.2126$
13°$0.2250$$0.9744$$0.2309$
14°$0.2419$$0.9703$$0.2493$
15°$0.2588$$0.9659$$0.2679$
16°$0.2756$$0.9613$$0.2867$
17°$0.2924$$0.9563$$0.3057$
18°$0.3090$$0.9511$$0.3249$
19°$0.3256$$0.9455$$0.3443$
20°$0.3420$$0.9397$$0.3640$
21°$0.3584$$0.9336$$0.3839$
22°$0.3746$$0.9272$$0.4040$
23°$0.3907$$0.9205$$0.4245$
24°$0.4067$$0.9135$$0.4452$
25°$0.4226$$0.9063$$0.4663$
26°$0.4384$$0.8988$$0.4877$
27°$0.4540$$0.8910$$0.5095$
28°$0.4695$$0.8829$$0.5317$
29°$0.4848$$0.8746$$0.5543$
30°$0.5000$$0.8660$$0.5774$
31°$0.5150$$0.8572$$0.6009$
32°$0.5299$$0.8480$$0.6249$
33°$0.5446$$0.8387$$0.6494$
34°$0.5592$$0.8290$$0.6745$
35°$0.5736$$0.8192$$0.7002$
36°$0.5878$$0.8090$$0.7265$
37°$0.6018$$0.7986$$0.7536$
38°$0.6157$$0.7880$$0.7813$
39°$0.6293$$0.7771$$0.8098$
40°$0.6428$$0.7660$$0.8391$
41°$0.6561$$0.7547$$0.8693$
42°$0.6691$$0.7431$$0.9004$
43°$0.6820$$0.7314$$0.9325$
44°$0.6947$$0.7193$$0.9657$
45°$0.7071$$0.7071$$1.0000$
46°$0.7193$$0.6947$$1.0355$
47°$0.7314$$0.6820$$1.0724$
48°$0.7431$$0.6691$$1.1106$
49°$0.7547$$0.6561$$1.1504$
50°$0.7660$$0.6428$$1.1918$
51°$0.7771$$0.6293$$1.2349$
52°$0.7880$$0.6157$$1.2799$
53°$0.7986$$0.6018$$1.3270$
54°$0.8090$$0.5878$$1.3764$
55°$0.8192$$0.5736$$1.4281$
56°$0.8290$$0.5592$$1.4826$
57°$0.8387$$0.5446$$1.5399$
58°$0.8480$$0.5299$$1.6003$
59°$0.8572$$0.5150$$1.6643$
60°$0.8660$$0.5000$$1.7321$
61°$0.8746$$0.4848$$1.8040$
62°$0.8829$$0.4695$$1.8807$
63°$0.8910$$0.4540$$1.9626$
64°$0.8988$$0.4384$$2.0503$
65°$0.9063$$0.4226$$2.1445$
66°$0.9135$$0.4067$$2.2460$
67°$0.9205$$0.3907$$2.3559$
68°$0.9272$$0.3746$$2.4751$
69°$0.9336$$0.3584$$2.6051$
70°$0.9397$$0.3420$$2.7475$
71°$0.9455$$0.3256$$2.9042$
72°$0.9511$$0.3090$$3.0777$
73°$0.9563$$0.2924$$3.2709$
74°$0.9613$$0.2756$$3.4874$
75°$0.9659$$0.2588$$3.7321$
76°$0.9703$$0.2419$$4.0108$
77°$0.9744$$0.2250$$4.3315$
78°$0.9781$$0.2079$$4.7046$
79°$0.9816$$0.1908$$5.1446$
80°$0.9848$$0.1736$$5.6713$
81°$0.9877$$0.1564$$6.3138$
82°$0.9903$$0.1392$$7.1154$
83°$0.9925$$0.1219$$8.1443$
84°$0.9945$$0.1045$$9.5144$
85°$0.9962$$0.0872$$11.4301$
86°$0.9976$$0.0698$$14.3007$
87°$0.9986$$0.0523$$19.0811$
88°$0.9994$$0.0349$$28.6363$
89°$0.9998$$0.0175$$57.2900$
90°$1.0000$$0.0000$nie istnieje
Powiązana teoria

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.

Otwórz lekcję

Wybrane wzory redukcyjne

Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.

Otwórz lekcję

Związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego

Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.

Otwórz lekcję