Darmowe narzędzie

Darmowy kalkulator planimetrii

Narzędzie zbiera w jednym miejscu najczęstsze obliczenia z figur płaskich. Sprawdza się przy zadaniach o trójkątach, czworokątach, okręgach i zależnościach między bokami oraz kątami.

Przejdź do darmowej teorii Poćwicz zadania w module maturalnym

Mobilny skrót

Nie wracaj do huba, żeby zmienić kalkulator

Z poziomu tego ekranu możesz od razu przejść do innych kalkulatorów albo otworzyć pełną listę narzędzi.

Planimetria

Interaktywny asystent figur

Wybierasz figurę i typ danych wejściowych, a kalkulator pokazuje rysunek, rozpoznaje czego brakuje, wylicza możliwe elementy i rozpisuje wzory dopasowane do danych.

Interaktywny asystent figur

Najmocniejszy moduł MVP: pola, kąty, wysokości, okrąg wpisany i opisany.

Rysunek dynamiczny

Rysunek aktualizuje się na żywo i podświetla elementy użyte w głównym wzorze lub ścieżce obliczeń.

Scenariusz danych

Dane wejściowe

Pełne odtworzenie trójkąta z trzech boków.

Bok a

Bok b

Bok c

Szybki przykład

Jakie wzory mogę tu użyć?

Pole z wzoru Herona

$$P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Gdy znamy trzy boki, najpewniejszą ścieżką do pola jest wzór Herona.

Kąty z twierdzenia cosinusów

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$$

Znając trzy boki, możemy odtworzyć kąty przez twierdzenie cosinusów.

Promień okręgu wpisanego

$$P = p \cdot r$$

Po policzeniu pola i półobwodu łatwo znaleźć promień okręgu wpisanego.

Promień okręgu opisanego

$$R = \frac{abc}{4P}$$

To szkolny wzór wiążący trzy boki trójkąta z jego polem.

Alternatywnie: pole z wysokości

Alternatywa

$$P = \frac{1}{2} a h_a$$

Po wyznaczeniu wysokości do boku a możesz przejść do klasycznego wzoru na pole.

Wyniki i analiza

Z trzech boków da się wyprowadzić praktycznie wszystkie szkolne parametry trójkąta.

Obwód

$$18$$

Pole

$$6\sqrt{6}$$

(≈ 14,70)

Kąt α

44,42

w stopniach

Kąt β

57,12

w stopniach

Kąt γ

78,46

w stopniach

Wysokość h_a

$$\frac{12\sqrt{6}}{5}$$

(≈ 5,88)

Wysokość h_b

$$2\sqrt{6}$$

(≈ 4,90)

Wysokość h_c

$$\frac{12\sqrt{6}}{7}$$

(≈ 4,20)

Promień okręgu wpisanego

$$\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

(≈ 1,63)

Promień okręgu opisanego

$$\frac{35\sqrt{6}}{24}$$

(≈ 3,57)

Klasyfikacja

ostrokątny

Kroki rozwiązania

Sprawdzenie istnienia trójkąta

Najpierw weryfikujemy nierówności trójkąta. Suma dowolnych dwóch boków musi być większa od trzeciego.

Półobwód

Obliczamy półobwód: $p = \frac{a+b+c}{2} = 9$.

Pole

Stosujemy wzór Herona i otrzymujemy pole $P = 6\sqrt{6}\;(\approx 14,70)$.

Kąty

Z twierdzenia cosinusów wyznaczamy kąty: $\alpha \approx 44,42^\circ$, $\beta \approx 57,12^\circ$, $\gamma \approx 78,46^\circ$.

Pozostałe elementy

Z pola obliczamy wysokości oraz promienie okręgu wpisanego i opisanego. Trójkąt jest ostrokątny.

Z jakiego działu matematyki to wynika?

Planimetria

Pracujemy na własnościach trójkąta i jego polu.

Trygonometria

Kąty odtwarzamy przez twierdzenie cosinusów.

Własności figur

Wysokości oraz promienie okręgów wynikają z klasycznych wzorów trójkąta.

Figura

Trójkąt

Najmocniejszy moduł MVP: pola, kąty, wysokości, okrąg wpisany i opisany.

Rysunek dynamiczny

Rysunek aktualizuje się na żywo i podświetla elementy użyte w głównym wzorze lub ścieżce obliczeń.

Scenariusz danych

Dane wejściowe

Pełne odtworzenie trójkąta z trzech boków.

Bok a

Bok b

Bok c

Szybki przykład

Wyniki i analiza

Z trzech boków da się wyprowadzić praktycznie wszystkie szkolne parametry trójkąta.

Obwód

$$18$$

Pole

$$6\sqrt{6}$$

(≈ 14,70)

Kąt α

44,42

w stopniach

Kąt β

57,12

w stopniach

Kąt γ

78,46

w stopniach

Wysokość h_a

$$\frac{12\sqrt{6}}{5}$$

(≈ 5,88)

Wysokość h_b

$$2\sqrt{6}$$

(≈ 4,90)

Wysokość h_c

$$\frac{12\sqrt{6}}{7}$$

(≈ 4,20)

Promień okręgu wpisanego

$$\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

(≈ 1,63)

Promień okręgu opisanego

$$\frac{35\sqrt{6}}{24}$$

(≈ 3,57)

Klasyfikacja

ostrokątny

Jakie wzory mogę tu użyć?

Pole z wzoru Herona

$$P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Gdy znamy trzy boki, najpewniejszą ścieżką do pola jest wzór Herona.

Kąty z twierdzenia cosinusów

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$$

Znając trzy boki, możemy odtworzyć kąty przez twierdzenie cosinusów.

Promień okręgu wpisanego

$$P = p \cdot r$$

Po policzeniu pola i półobwodu łatwo znaleźć promień okręgu wpisanego.

Promień okręgu opisanego

$$R = \frac{abc}{4P}$$

To szkolny wzór wiążący trzy boki trójkąta z jego polem.

Alternatywnie: pole z wysokości

Alternatywa

$$P = \frac{1}{2} a h_a$$

Po wyznaczeniu wysokości do boku a możesz przejść do klasycznego wzoru na pole.

Kroki rozwiązania

Sprawdzenie istnienia trójkąta

Najpierw weryfikujemy nierówności trójkąta. Suma dowolnych dwóch boków musi być większa od trzeciego.

Półobwód

Obliczamy półobwód: $p = \frac{a+b+c}{2} = 9$.

Pole

Stosujemy wzór Herona i otrzymujemy pole $P = 6\sqrt{6}\;(\approx 14,70)$.

Kąty

Z twierdzenia cosinusów wyznaczamy kąty: $\alpha \approx 44,42^\circ$, $\beta \approx 57,12^\circ$, $\gamma \approx 78,46^\circ$.

Pozostałe elementy

Z pola obliczamy wysokości oraz promienie okręgu wpisanego i opisanego. Trójkąt jest ostrokątny.

Z jakiego działu matematyki to wynika?

Planimetria

Pracujemy na własnościach trójkąta i jego polu.

Trygonometria

Kąty odtwarzamy przez twierdzenie cosinusów.

Własności figur

Wysokości oraz promienie okręgów wynikają z klasycznych wzorów trójkąta.

Figura

Trójkąt

Najmocniejszy moduł MVP: pola, kąty, wysokości, okrąg wpisany i opisany.

Rysunek dynamiczny

Rysunek aktualizuje się na żywo i podświetla elementy użyte w głównym wzorze lub ścieżce obliczeń.

Wyniki i analiza

Z trzech boków da się wyprowadzić praktycznie wszystkie szkolne parametry trójkąta.

Obwód

$$18$$

Pole

$$6\sqrt{6}$$

(≈ 14,70)

Kąt α

44,42

w stopniach

Kąt β

57,12

w stopniach

Kąt γ

78,46

w stopniach

Wysokość h_a

$$\frac{12\sqrt{6}}{5}$$

(≈ 5,88)

Wysokość h_b

$$2\sqrt{6}$$

(≈ 4,90)

Wysokość h_c

$$\frac{12\sqrt{6}}{7}$$

(≈ 4,20)

Promień okręgu wpisanego

$$\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

(≈ 1,63)

Promień okręgu opisanego

$$\frac{35\sqrt{6}}{24}$$

(≈ 3,57)

Klasyfikacja

ostrokątny

Kroki rozwiązania

Sprawdzenie istnienia trójkąta

Najpierw weryfikujemy nierówności trójkąta. Suma dowolnych dwóch boków musi być większa od trzeciego.

Półobwód

Obliczamy półobwód: $p = \frac{a+b+c}{2} = 9$.

Pole

Stosujemy wzór Herona i otrzymujemy pole $P = 6\sqrt{6}\;(\approx 14,70)$.

Kąty

Z twierdzenia cosinusów wyznaczamy kąty: $\alpha \approx 44,42^\circ$, $\beta \approx 57,12^\circ$, $\gamma \approx 78,46^\circ$.

Pozostałe elementy

Z pola obliczamy wysokości oraz promienie okręgu wpisanego i opisanego. Trójkąt jest ostrokątny.

Z jakiego działu matematyki to wynika?

Planimetria

Pracujemy na własnościach trójkąta i jego polu.

Trygonometria

Kąty odtwarzamy przez twierdzenie cosinusów.

Własności figur

Wysokości oraz promienie okręgów wynikają z klasycznych wzorów trójkąta.

Jak działa ten kalkulator

Dobiera zestaw pól wejściowych do wybranej figury i dostępnych danych.

Pokazuje, które wielkości da się policzyć z podanych informacji.

Zwraca wynik wraz z wzorem lub zależnością używaną w obliczeniach.

Do czego służy

obliczanie pól i obwodów figur płaskich

sprawdzanie zadań z trójkątów i czworokątów

porządkowanie danych przed rozwiązaniem zadania geometrycznego

Powiązana teoria

Pola wielokątów

Przejdź do teorii, wzorów i przykładów powiązanych z tym kalkulatorem.

Pole koła, pole wycinka koła

Przejdź do teorii, wzorów i przykładów powiązanych z tym kalkulatorem.

Pole trapezu

Przejdź do teorii, wzorów i przykładów powiązanych z tym kalkulatorem.