Rachunek prawdopodobieństwa – wzory maturalne CKE

Niech $\Omega$ będzie niepustym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, natomiast $P$ – prawdopodobieństwem określonym na podzbiorach zbioru $\Omega$. Wtedy:

dla każdego zdarzenia $A \subset \Omega$:

dla każdych zdarzeń $A$ oraz $B$ takich, że $A \subset B \subset \Omega$:

gdzie $A'$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A \subset \Omega$:

dla każdych zdarzeń $A, B \subset \Omega$:

dla każdych zdarzeń $A, B \subset \Omega$:

Niech $\Omega$ będzie niepustym skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego $A$ jest równe:

Próbą Bernoullego nazywamy doświadczenie losowe, w którym otrzymujemy jeden z dwóch możliwych wyników. Jeden z nich nazywamy sukcesem, a drugi – porażką. Jeżeli prawdopodobieństwo sukcesu jest równe $p$, to prawdopodobieństwo porażki jest równe $q = 1 - p$. Schematem Bernoullego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń prób Bernoullego. W schemacie Bernoullego prawdopodobieństwo $P_n(k)$ uzyskania w $n$ próbach dokładnie $k$ sukcesów ($0 \le k \le n$) jest równe:

Niech $A$, $B$ będą zdarzeniami losowymi zawartymi w $\Omega$, przy czym $P(B) > 0$. Prawdopodobieństwem warunkowym $P(A|B)$ zdarzenia $A$ pod warunkiem zaistnienia zdarzenia $B$ nazywamy liczbę:

Jeżeli zdarzenia losowe $B_1, B_2, \ldots, B_n$ zawarte w $\Omega$ spełniają warunki: 1. $B_1, B_2, \ldots, B_n$ są parami rozłączne, tzn. $B_i \cap B_j = \emptyset$ dla $i \neq j$, $1 \le i \le n$, $1 \le j \le n$. 2. $B_1 \cup B_2 \cup \ldots \cup B_n = \Omega$. 3. $P(B_i) > 0$ dla $1 \le i \le n$. to dla każdego zdarzenia losowego $A \subset \Omega$ prawdziwa jest równość:

Jeżeli zdarzenia losowe $A$, $B_1$, $B_2$, $\ldots$, $B_n$ zawarte w $\Omega$ spełniają warunki: 1. $B_1$, $B_2$, $\ldots$, $B_n$ są parami rozłączne, tzn. $B_i \cap B_j = \emptyset$ dla $i \neq j$, $1 \le i \le n$, $1 \le j \le n$. 2. $B_1 \cup B_2 \cup \ldots \cup B_n = \Omega$. 3. $P(B_i) > 0$ dla $1 \le i \le n$. 4. $P(A) > 0$. to dla każdego $k$ ($1 \le k \le n$) prawdziwa jest równość:

Niech $X$ będzie zmienną losową o wartościach $x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{R}$, określoną na zbiorze $\Omega$, przy czym $P(\{\omega: \omega \in \Omega \text{ oraz } X(\omega) = x_i\}) = p_i$ dla $1 \le i \le n$. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej $X$ nazywamy liczbę: