Wyróżnik trójmianu
Wyróżnikiem $\Delta$ trójmianu kwadratowego $ax^2+bx+c$ ($a \ne 0$, $b,c \in \mathbb{R}$) zmiennej rzeczywistej $x$ nazywamy liczbę:
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
Karta wzorów CKE
Funkcja kwadratowa – wzory maturalne CKE
Wyróżnik trójmianu, wzory na miejsca zerowe, wierzchołek paraboli, postać kanoniczna i iloczynowa oraz wzory Viète’a — z karty CKE.
Wszystkie działy
Funkcja kwadratowa
Delta, miejsca zerowe, postacie funkcji i wzory Viète’a.
Powiązany kalkulator
Ten dział ma aktywny kalkulator tematyczny w serwisie.
Otwórz kalkulator funkcji kwadratowejPostać ogólna
Postać ogólna funkcji kwadratowej, gdzie $a \ne 0$, $b,c \in \mathbb{R}$, $x \in \mathbb{R}$.
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$
Wierzchołek paraboli
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (p,q)$. Gdy $a < 0$, ramiona paraboli skierowane są ku dołowi; gdy $a > 0$ — ku górze.
$$p = -\frac{b}{2a}$$
$$q = -\frac{\Delta}{4a}$$
Miejsca zerowe dla Δ > 0
Jeżeli $\Delta > 0$, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste):
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$
Pierwiastek podwójny dla Δ = 0
Jeżeli $\Delta = 0$, to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste):
$$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$$
Postać kanoniczna
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:
$$f(x) = a(x-p)^2 + q$$
Postać iloczynowa
Jeżeli $\Delta \ge 0$, to funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej:
$$f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$$
Wzory Viète’a
Wzory Viète’a. Jeżeli $\Delta \ge 0$, to:
$$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$$
$$x_1x_2 = \frac{c}{a}$$
Powiązana teoria
Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.
Otwórz lekcję
Równania kwadratowe
Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.
Otwórz lekcję
Nierówności kwadratowe
Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.
Otwórz lekcję