Długość odcinka
Długość odcinka $AB$ o końcach w punktach $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$ jest równa:
$$|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
Karta wzorów CKE
Geometria analityczna – wzory maturalne CKE
Równania prostych i okręgów, odległość punktu od prostej, wzajemne położenie figur — wzory z karty maturalnej CKE.
Wszystkie działy
Geometria analityczna
Płaszczyzna kartezjańska, proste, okręgi, wektory i pole trójkąta.
Powiązany kalkulator
Ten dział ma aktywny kalkulator tematyczny w serwisie.
Otwórz geometrię analitycznąWspółrzędne środka odcinka
Współrzędne środka $S=(x_S,y_S)$ odcinka $AB$ o końcach w punktach $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$ są równe:
$$x_S = \frac{x_A+x_B}{2}$$
$$y_S = \frac{y_A+y_B}{2}$$
Równanie kierunkowe prostej
Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi $Oy$, to można opisać ją równaniem kierunkowym:
$$y = ax + b$$
Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy prostej.
$$a = \tg \alpha$$
Prosta o równaniu $y = ax + b$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, b)$.
Równanie kierunkowe prostej o danym współczynniku kierunkowym $a$, która przechodzi przez punkt $P = (x_0, y_0)$:
$$y = a(x - x_0) + y_0$$
Prosta przez punkt i dwa punkty
Równanie kierunkowe prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty $A = (x_A, y_A)$ oraz $B = (x_B, y_B)$:
$$y - y_A = a(x - x_A)$$
gdzie
$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$
gdy $x_B \neq x_A$.
Równanie ogólne prostej
Równanie ogólne prostej, gdzie $A, B, C \in \mathbb{R}$ i $A^2 + B^2 \neq 0$.
Jeśli $A = 0$, prosta jest równoległa do osi $Ox$; jeśli $B = 0$ — równoległa do osi $Oy$; jeśli $C = 0$ — przechodzi przez początek układu współrzędnych.
$$Ax + By + C = 0$$
Równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty $A = (x_A, y_A)$ oraz $B = (x_B, y_B)$:
$$(y - y_{A})(x_{B} - x_{A}) - (y_{B} - y_{A})(x - x_{A}) = 0$$
Proste równoległe i prostopadłe
Proste równoległe
Dwie proste o równaniach kierunkowych $y = a_1x + b_1$ oraz $y = a_2x + b_2$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:
$$a_1 = a_2$$
Dwie proste o równaniach ogólnych $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ oraz $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:
$$A_1 \cdot B_2 - A_2 \cdot B_1 = 0$$
Proste prostopadłe
Dwie proste o równaniach kierunkowych $y = a_1x + b_1$ oraz $y = a_2x + b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:
$$a_1 \cdot a_2 = -1$$
Dwie proste o równaniach ogólnych $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ oraz $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:
$$A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 = 0$$
Odległość punktu od prostej
Odległość $d$ punktu $P(x_0, y_0)$ od prostej o równaniu ogólnym $Ax + By + C = 0$ jest równa:
$$d = \frac{|Ax_{0} + By_{0} + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$
Równanie okręgu
Równanie okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r > 0$ w postaci kanonicznej:
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
Równanie okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r > 0$ w postaci ogólnej:
$$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$$
gdzie $c = a^2 + b^2 - r^2$.
Wektory
Dane są punkty $A = (x_A, y_A)$ oraz $B = (x_B, y_B)$. Współrzędne wektora $\vec{AB}$ zaczepionego w punkcie $A$:
$$\vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]$$
Jeżeli $\vec{u} = [u_1, u_2]$ oraz $\vec{v} = [v_1, v_2]$ są wektorami oraz $a \in \mathbb{R}$, to:
$$\vec{u} + \vec{v} = [u_1 + v_1, u_2 + v_2], \quad a \cdot \vec{u} = [a \cdot u_1, a \cdot u_2]$$
Długością $|\vec{u}|$ wektora $\vec{u} = [u_1, u_2]$ nazywamy liczbę
$$|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$$
Przekształcenia geometryczne
Przesunięcie o wektor $\vec{u} = [a, b]$ przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P'$:
$$P' = (x + a, y + b)$$
Symetria osiowa $S_{Ox}$ względem osi $Ox$ przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P'$:
$$P' = (x, -y)$$
Symetria osiowa $S_{Oy}$ względem osi $Oy$ przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P'$:
$$P' = (-x, y)$$
Symetria środkowa $S_K$ względem punktu $K = (a, b)$ przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P'$:
$$P' = (2a - x, 2b - y)$$
W szczególności symetria środkowa względem początku układu współrzędnych przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P'$:
$$P' = (-x, -y)$$
Pole i środek ciężkości trójkąta
Pole trójkąta
Pole trójkąta $ABC$ o wierzchołkach $A = (x_A, y_A)$, $B = (x_B, y_B)$ oraz $C = (x_C, y_C)$ jest równe:
$$P_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|$$
Współrzędne środka ciężkości
Współrzędne środka ciężkości $S = (x_S, y_S)$ trójkąta $ABC$ o wierzchołkach $A = (x_A, y_A)$, $B = (x_B, y_B)$ oraz $C = (x_C, y_C)$, czyli punktu przecięcia jego środkowych:
$$x_S = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_S = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$$
Powiązana teoria
Odległość między punktami w układzie współrzędnych i środek odcinka
Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.
Otwórz lekcję
Okrąg w układzie współrzędnych / Równanie okręgu
Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.
Otwórz lekcję
Pole trójkąta w układzie współrzędnych
Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.
Otwórz lekcję