Potęga naturalna
Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ definiujemy jej $n$-tą potęgę jako iloczyn $n$ jednakowych czynników:
$$a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$$
Karta wzorów CKE
Potęgi i pierwiastki – wzory maturalne CKE
Definicje potęg i pierwiastków, wykładniki ujemne i wymierne oraz prawa działań i monotoniczność — wszystko z karty wzorów maturalnych.
Wszystkie działy
Potęgi i pierwiastki
Definicje, potęgi o wykładnikach wymiernych i prawa działań.
Pierwiastek arytmetyczny
Pierwiastkiem arytmetycznym $n$-tego stopnia z liczby $a \ge 0$ nazywamy liczbę $b \ge 0$ taką, że:
$$\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a$$
Jeżeli $a < 0$ oraz liczba $n$ jest nieparzysta, to $\sqrt[n]{a}$ oznacza liczbę $b < 0$ taką, że $b^n = a$. W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.
Szczególny przypadek
W szczególności, dla każdej liczby rzeczywistej $a$ prawdziwa jest równość:
$$\sqrt{a^2} = |a|$$
Wykładniki ujemne i wymierne
Niech $m$, $n$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy wykładniki ujemne, zerowy i wymierny (przy podanych warunkach na $a$):
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
$$a^0 = 1$$
$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$$
Prawa działań
Niech $r$, $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$, to obowiązują wzory powyżej. Jeżeli wykładniki $r$, $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \ne 0$ i $b \ne 0$.
$$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$$
$$\left(a^r\right)^s = a^{rs}$$
$$(ab)^r = a^r b^r$$
$$\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}$$
Monotoniczność potęgi
Niech $x$, $y$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
$$a^x < a^y \iff x>y \text{ dla } a \in (0,1)$$
$$a^x < a^y \iff x<y \text{ dla } a>1$$
Powiązana teoria
Potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym i wymiernym
Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.
Otwórz lekcję
Pierwiastki i liczby niewymierne
Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.
Otwórz lekcję
Logarytm i jego własności
Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.
Otwórz lekcję