Silnia
Silnią liczby całkowitej dodatniej $n$ nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od $1$ do $n$ włącznie. Ponadto przyjmujemy umowę:
$$n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$$
$$0! = 1$$
Karta wzorów CKE
Silnia i współczynnik dwumianowy – wzory maturalne CKE
Definicja silni, rekurencja, współczynnik dwumianowy i jego własności — zestawienie wzorów z karty maturalnej CKE.
Wszystkie działy
Silnia i współczynnik dwumianowy
Klasyczne wzory z kombinatoryki i symbolu Newtona.
Rekurencja silni
Dla dowolnej liczby całkowitej $n \ge 0$ prawdziwa jest równość:
$$(n+1)! = n!\cdot(n+1)$$
Współczynnik dwumianowy
Dla liczb całkowitych $n$, $k$ spełniających warunki $0 \le k \le n$ definiujemy współczynnik dwumianowy (symbol Newtona):
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Iloczynowa postać symbolu Newtona
Prawdziwa jest równość:
$$\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{k!}$$
Najczęstsze wartości
Prawdziwe są równości:
$$\binom{n}{0}=1$$
$$\binom{n}{1}=n$$
$$\binom{n}{n-1}=n$$
$$\binom{n}{n}=1$$
Symetria i wzór Pascala
Prawdziwe są równości:
$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$
$$\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$$
Powiązana teoria