Ta lekcja pokazuje, jak układ równań widzieć geometrycznie jako przecięcie wykresów i jak z tej interpretacji odczytywać liczbę rozwiązań.
Definicja
Interpretacja geometryczna
Każde z równań układu liniowego opisuje pewną prostą na płaszczyźnie. Rozwiązaniem układu jest para liczb, która współrzędnymi odpowiada punktowi wspólnemu obu prostych.
Wzór
Postać kierunkowa prostej
Służy do łatwego wyznaczenia punktów i narysowania prostej. Gdy chcemy narysować prostą lub odczytać jej współczynnik kierunkowy i wyraz wolny.
Wzór
Współrzędne punktu przecięcia
Punkt o współrzędnych $(x, y)$ jest rozwiązaniem układu, jeśli leży na obu prostych jednocześnie.
Przykład 1.1 — Rozwiązanie graficzne
- Krok 1:
- Krok 2:
- Krok 3:
- Krok 4:
Przykład 1.2 — Weryfikacja przez podstawianie
- Krok 1:
- Krok 2:
- Krok 3:
Definicje
Układ oznaczony
Dokładnie jedno rozwiązanie. Geometrycznie — proste przecinają się w jednym punkcie.
Układ nieoznaczony
Nieskończenie wiele rozwiązań. Geometrycznie — proste pokrywają się.
Układ sprzeczny
Brak rozwiązań. Geometrycznie — proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.
Twierdzenie
Liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych zależy od wzajemnego położenia prostych: 1) Proste przecinają się — jedno rozwiązanie. 2) Proste pokrywają się — nieskończenie wiele. 3) Proste są równoległe i różne — brak rozwiązań.
Przykład 2.1 — Układ sprzeczny bez rysowania
- Krok 1:
- Krok 2:
Definicja
Badanie układu z parametrem
Gdy parametr pojawia się w jednym z równań, badamy, dla jakich jego wartości proste przecinają się, są równoległe lub pokrywają się.
Przykład 3.1 — Warunek na układ oznaczony
- Krok 1:
- Krok 2:
Ta lekcja pokazuje, jak układ równań widzieć geometrycznie jako przecięcie wykresów i jak z tej interpretacji odczytywać liczbę rozwiązań.