Matma-Tyka
LekcjeWzory maturalneKalkulatory
...PremiumOdblokuj premium
  1. Start
  2. /Lekcje
  3. /Metody rozwiązywania układów równań

Lekcja porównuje najważniejsze metody rozwiązywania układów równań i pomaga dobrać najwygodniejszą technikę do konkretnego zadania.

Definicja

Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Zestawienie dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y, które mają być spełnione jednocześnie.

Definicja

Rozwiązanie układu równań

Para liczb , która po podstawieniu do każdego równania układu daje równość prawdziwą.

Twierdzenie

Liczba rozwiązań układu równań liniowych

Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązań wcale.

Przykład 1.1 — Zastosowanie układów w zadaniach tekstowych

Suma dwóch liczb wynosi 20, a ich różnica 4. Znajdź te liczby.

  1. Krok 1:
  2. Krok 2:
  3. Krok 3:
  4. Krok 4:
Te liczby to 12 i 8.

Metoda

Metoda podstawiania (algorytm)

Z jednego z równań wyznaczamy jedną niewiadomą i podstawiamy ją do drugiego równania, otrzymując równanie z jedną niewiadomą.

Kiedy stosować: najlepiej gdy przy jednej z niewiadomych współczynnik wynosi 1 lub −1.

Metoda

Metoda przeciwnych współczynników (algorytm)

Mnożymy równania przez takie liczby, aby przy jednej z niewiadomych otrzymać przeciwne współczynniki, a następnie dodajemy równania stronami.

Kiedy stosować: użyteczna, gdy wyznaczenie niewiadomej prowadziłoby do skomplikowanych ułamków.

Przykład 2.1 — Metoda podstawiania

  1. Krok 1:
  2. Krok 2:
  3. Krok 3:
  4. Krok 4:

Przykład 2.2 — Metoda przeciwnych współczynników

  1. Krok 1:
  2. Krok 2:
  3. Krok 3:

Definicja

Układ oznaczony

Układ równań, który ma dokładnie jedno rozwiązanie. Interpretacja geometryczna: dwie proste przecinające się w jednym punkcie.

Definicja

Układ nieoznaczony (zależny)

Układ równań, który ma nieskończenie wiele rozwiązań. Interpretacja geometryczna: dwie proste pokrywające się.

Definicja

Układ sprzeczny

Układ równań, który nie ma rozwiązań. Interpretacja geometryczna: dwie proste równoległe niepokrywające się.

Przykład 3.1 — Interpretacja geometryczna

  1. Krok 1:
  2. Krok 2:
  3. Krok 3:
Powiązane materiały

Lekcja porównuje najważniejsze metody rozwiązywania układów równań i pomaga dobrać najwygodniejszą technikę do konkretnego zadania.

Powiązane kalkulatory

Kalkulator równań i nierówności

Darmowy kalkulator równań i nierówności: liniowe, kwadratowe, iloczynowe i wymierne z osią liczbową, wykresem i krokami rozwiązania.

Zobacz wszystkie darmowe kalkulatory
Powiązane lekcje

Interpretacja geometryczna układu równań

Przejdź do powiązanej teorii i wróć do tego tematu z innej strony.

Zadania tekstowe z układami równań

Przejdź do powiązanej teorii i wróć do tego tematu z innej strony.

Poćwicz ten dział w module maturalnym