Ciąg arytmetyczny: wzór ogólny
Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n \ge 1$, o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$:
$$a_n = a_1 + (n-1)r$$
Karta wzorów CKE
Ciągi – wzory maturalne CKE
Wzory na wyraz ogólny, różnicę, iloraz, sumę wyrazów oraz własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych — z karty maturalnej.
Wszystkie działy
Ciągi
Wzory ciągu arytmetycznego, geometrycznego, granice i procent składany.
Ciąg arytmetyczny: suma
Wzory na sumę $S_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_n = \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
$$S_n = \frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego
Dla sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$ prawdziwa jest równość (dla $n \ge 2$):
$$a_n = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$
Ciąg geometryczny: wzór ogólny
Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla $n \ge 1$, o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$:
$$a_n = a_1\cdot q^{n-1}$$
Ciąg geometryczny: suma
Wzory na sumę $S_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego:
$$S_n = a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \text{ dla } q\neq1$$
$$S_n = n\cdot a_1 \text{ dla } q=1$$
Środkowy wyraz ciągu geometrycznego
Dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego $(a_n)$ prawdziwa jest równość (dla $n \ge 2$):
$$(a_n)^2 = a_{n-1}\cdot a_{n+1}$$
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ o ilorazie $q$. Niech $(S_n)$ oznacza ciąg sum początkowych wyrazów. Jeżeli $|q| < 1$, to ciąg $(S_n)$ ma granicę równą sumie wszystkich wyrazów ciągu:
$$S = \frac{a_1}{1-q}$$
Procent składany
Jeżeli kapitał początkowy $K_0$ złożymy na okres $n$ lat na lokacie bankowej, której oprocentowanie wynosi $p\%$ w skali rocznej, a kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy $K_n$ jest określony wzorem:
$$K_n = K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
Wybrane granice
Wybrane granice:
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1 \quad \text{dla każdego } a>0$$
$$\lim_{n\to\infty}q^n=0 \quad \text{dla każdego } q\in(-1,1)$$
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0 \quad \text{dla każdego } k>0$$
$$\lim_{n\to\infty}n^k=+\infty \quad \text{dla każdego } k>0$$
Powiązana teoria
Pojęcie ciągu i sposoby określania
Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.
Otwórz lekcję
Ciąg arytmetyczny i jego własności
Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.
Otwórz lekcję
Ciąg geometryczny i jego własności
Przejdź do lekcji z definicjami i przykładami powiązanymi z tym działem wzorów.
Otwórz lekcję